TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM LÊN ĐƯỜNG THẲNG

Cách tìm hình chiếu của 1 điểm xuất phát thẳng cực hay

Với biện pháp tìm hình chiếu của một điểm xuất hành thẳng cực hay Toán lớp 10 có đầy đủ phương thức giải, lấy một ví dụ minh họa và bài bác tập trắc nghiệm gồm lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết phương pháp làm dạng bài bác tập kiếm tìm hình chiếu của một điểm lên đường thẳng từ kia đạt điểm trên cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

Bạn đang xem: Tìm hình chiếu của điểm lên đường thẳng

*

A. Phương thức giải

Cho trước điểm A(x0; y0) cùng phương trình đường thẳng d: ax + by + c = 0 gồm VTPT n→( a; b). Tìm kiếm hình chiếu của điểm A xuất hành thẳng d:

+ bước 1: gọi H là hình chiếu của A khởi thủy thẳng d.

+ bước 2: Lập phương trình tổng thể của AH

AH:

*

⇒ phương trình AH: b(x - x0) - a(y - y0) = 0

+ bước 3: AH cùng d giảm nhau trên H yêu cầu tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

*

Từ hệ phương trình trên ta suy ra tọa độ điểm H.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: mang đến điểm A( 1; 2) và con đường thẳng (d): x + 2y - 3 = 0 .Tìm hình chiếu của A lên đường thẳng d.

A. ( 1; -2) B. (-

*
; ) C. ( ;
*
) D. Đáp án khác

Lời giải

+ điện thoại tư vấn H là hình chiếu của A phát xuất thẳng (d) .

+ Lập phương trình mặt đường thẳng AH:

(AH) :

*

⇒ Phương trình ( AH) : 2(x - 1) – 1.( y - 2) = 0 tuyệt 2x - y = 0

+ hai tuyến phố thẳng AH và d cắt nhau tại H bắt buộc tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

*

Chọn C.

Ví dụ 2: mang lại điểm A( 2; 0) và con đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Search hình chiếu của điểm A khởi thủy thẳng d.

A. ( 2; -1) B. (2; 0) C. (1; -2) D. (-2; -1)

Lời giải

Ta có: 2 + 0 - 2 = 0 nên điểm A thuộc đường thẳng d.

⇒ Hình chiếu của điểm A xuất xứ thẳng d đó là điểm A.

Chọn B.

Ví dụ 3: đến tam giác ABC gồm A( 0; -2).Gọi I ( 2; 4) là trung điểm của AB với J( -4; 2) là trung điểm của AC. Call hình chiếu của điểm A lên BC là H. Viết phương trình đường thẳng AH?

A. 6x + 2y - 3 = 0 B. 6x + 2y + 4 =0 C. 2x - y + 1 = 0 D. Tất cả sai

Lời giải

+ vày I và J thứu tự là trung điểm của AB với AC đề xuất IJ là con đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .

+ bởi vì H là hình chiếu của A lên BC

⇒ AH vuông góc BC (2).

Từ(1) và ( 2) suy ra: AH vuông góc IJ

+ Lập phương trình AH:

*

⇒ ( AH): 6(x - 0) + 2( y + 2) = 0 xuất xắc 6x + 2y + 4 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 4: Toạ độ hình chiếu của M(4; 1) trê tuyến phố thẳng ∆: x - 2y + 4 = 0 là:

A. ( 14; -19) B. ( 2; 3)C. (; ) D. (- ; )

Lời giải

+ Đường trực tiếp ∆ có một VTPT n→(1; -2)

hotline H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M trên tuyến đường thẳng ∆ thì MH→(2t - 8; t - 1)

⇒ nhì vecto MH→ và n→(2; -3) cùng phương nên:

*
⇒ H(; )

Chọn C.

*

Ví dụ 5: mang đến đường trực tiếp ∆:

*
cùng điểm M(3; 3) . Tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên phố thẳng ∆ là:

A. (4; -2) B. (1; 0) C. (-2; 2) D. (7; -4)

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ ⇒ H(1 + 3t; - 2t), MH→ = (- 2 + 3t; - 3 - 2t)

Đường thẳng gồm vectơ chỉ phương là u→( 3; -2) .

Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau

⇒ MH→.u→ = 0 ⇔ 3( -2 + 3t ) – 2( -3 - 2t) = 0

⇔ -6 + 9t + 6 + 4t = 0 ⇔ 13t = 0 ⇔ t = 0

⇒ H ( 1; 0)

Chọn B.

Ví dụ 6: Tìm hình chiếu của A( 3;-4) xuất xứ thẳng d:

*

A. ( 1; 2) B. (4; -2) C. ( -1; 2) D. ( -1; -3)

Lời giải

+ rước điểm H(2 + 2t; -1 - t) trực thuộc d.

Ta có AH→ = (2t - 1; -t + 3)

Vectơ chỉ phương của d là u→( 2; -1)

+Do H là hình chiếu của A trên d

⇔ AH ⊥ d ⇔ u→.AH→ = 0 ⇔ 2(2t - 1) - (- t + 3) = 0 ⇔ t = 1

+ cùng với t = 1 ta gồm H( 4; -2)

Vậy hình chiếu của A bên trên d là H( 4; -2).

Chọn B.

Ví dụ 7: đến đường trực tiếp ∆:

*
. Hoành độ hình chiếu của M( 4; 5) bên trên ∆ sớm nhất với số nào tiếp sau đây ?

A. 1,1B. 1,2C. 1,3D. 1,5

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ yêu cầu H( 2 - 3t; 1 + 2t) và MH→( -2 - 3t; -4 + 2t)

Đường thẳng ∆có vectơ chỉ phương là u→(3; - 2) .

Xem thêm:

u→ ⊥ MH→ ⇔ u→.MH→ = 0 ⇔ 3(-2 - 3t) - 2(-4 + 2t) = 0 ⇔ -13t + 2 = 0 ⇔ t =

*
⇒ H( ;
*
)

⇒ Hoành độ của điểm H là .

Chọn D.

Ví dụ 8: mang lại tam giác BAC tất cả AB = 3; BC = 3√3 và góc B = 300.Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Tìm kiếm mệnh đề đúng?

A. H bên trong đoạn BC thỏa mãn: bảo hành = 2 HC

B. AH =

*
.

C. BH = 2.

D. Tất cả không nên

Lời giải

+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:

AC2 = AB2 + BC2 – 2.AC.BC.Cos B

= 32 + (3√3 )2 - 2.3.3√3.cos300 = 9

⇒ AC = 3 cần AB = AC = 3

⇒ Tam giác BAC cân tại A.

+ AH là mặt đường cao buộc phải đồng thời là con đường trung con đường

⇒ H là trung điểm của BC: bảo hành = CH =

*

+ Xét tam giác vuông AHB có: AH = AB.sinB = 3.sin300 = 1,5.

Chọn B.

*

C. Bài xích tập vận dụng

Câu 1: đến điểm A( -1; 2) và mặt đường thẳng ∆:

*
. Search điểm M bên trên ∆ làm sao cho AM ngắn nhất.

A. ( 1; -3) B. ( 1; 3) C. (0; 5) D. (4; 0)

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Lấy điểm M ( t - 2; - t - 3) ở trong ∆

⇒ AM =

*

*

*

Ta có: ( t + 2)2 ≥ 0 với tất cả t phải 2( t + 2)2 + 18 ≥ 18

⇒ AM =

*

⇒ AM ngắn nhất là √18 khi và chỉ khi : t + 2 = 0 giỏi t = 2.

Khi kia tọa độ điểm M( 0 ; 5) .

Câu 2: Toạ độ hình chiếu của M(4; 1) trê tuyến phố thẳng d: x - 2y + 4 = 0 là:

A. (

*
;
*
)B. (
*
;
*
) C. (; )D. (
*
;
*
)

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Đường thẳng d có một VTPT n→(1; -2).

call H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M( 4; 1) trê tuyến phố thẳng d thì MH→(2t – 8; t - 1)

Và n→(1; -2) thuộc phương khi và chỉ khi

*
→ H(; ).

Câu 3: mang đến tam giác ABC có A(1; 3).Gọi I(2; 1) là trung điểm của AB với J( -1; 0) là trung điểm của AC. Call hình chiếu của điểm A lên BC là H ( x; y). Tính x + 2y?

A. 0 B. - 1 C. 2 D. 3

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ bởi I và J theo lần lượt là trung điểm của AB cùng AC buộc phải IJ là mặt đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .

+ bởi vì H là hình chiếu của A lên BC

⇒ AH vuông góc BC (2).

Từ(1) với ( 2) suy ra: AH vuông góc IJ

+ Lập phương trình AH:

*

⇒ ( AH): - 3( x - 1) – 1( y - 3) = 0 giỏi 3x + y - 6 = 0.

+ Phương trình IJ:

*

⇒ Phương trình IJ: 1( x - 2) – 3( y - 1) = 0 tuyệt x - 3y + 1 = 0.

+ gọi giao điểm của IJ cùng AH là M. Tọa độ điểm M là nghiệm hệ :

*

+ lại sở hữu M là trung điểm AH ( vị MI // bảo hành và I là trung điểm AB)

⇒ Tọa độ điểm H:

*
⇒ x + 2y = 0

Câu 4: Toạ độ hình chiếu của M(- 2; 1) trên tuyến đường thẳng ∆: 2x - y + 4 = 0 là:

A. (

*
; - ) B. ( ;
*
) C. ( - ; ) D. (1; 0)

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

+ Đường trực tiếp ∆ có 1 VTPT n→( 2; -1)

điện thoại tư vấn H( t; 2t + 4) là hình chiếu của M trên phố thẳng ∆ thì MH→( t + 2; 2t + 3)

⇒ hai vecto MH→ với n→( 2; -1) thuộc phương nên:

*
⇔ - t - 2 = 4t + 6 ⇔ t = -

⇒ Tọa độ điểm H( - ; )

*

Câu 5: mang lại đường trực tiếp ∆:

*
và điểm M(2; -3). Tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên tuyến đường thẳng ∆ là:

A. (4; -2) B. (-0,8; -4,4) C. (-2,2; 4) D. (7; -4,4)

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H trực thuộc ∆ phải H( -3 + t ; -2t) ⇒ MH→( t - 5 ; 3 - 2t)

Đường thẳng bao gồm vectơ chỉ phương là u→( 1; -2) .

Do H là hình chiếu vuông góc của M bên trên ∆ nên hai tuyến đường thẳng MH với ∆ vuông góc với nhau

⇒ MH→ . U→ = 0 ⇔ 1(t - 5) – 2( 3 - 2t) = 0

⇔ t - 5 - 6 + 4t = 0 ⇔ 5t = 11 ⇔ t = 2,2

⇒ H (- 0,8; - 4,4)

Câu 6: kiếm tìm hình chiếu của A( 1; 2) xuất phát thẳng d: x - 3y + 6 = 0

A. H( 1; 2) B. H( ; ) C. H( ; ) D. H(

*
;
*
)

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

+ đem điểm H(3t - 6; t) trực thuộc d.

Ta bao gồm AH→( 3t - 7; t - 2)

Vectơ pháp tuyến đường của d là u→( 1; -3)

+Do H là hình chiếu của A trên d buộc phải hai vecto AH→ cùng u→ cùng phương :

*
⇔ - 3( 3t - 7) = 1(t - 2)

⇔ - 9t + 21 = t - 2 ⇔ t =

+ với t = ta tất cả H( ; )

Câu 7: mang lại đường trực tiếp ∆:

*
. Hoành độ hình chiếu của M(1; 2) bên trên ∆ sớm nhất với số nào tiếp sau đây ?

A. -0,56B. 0,32C. 1,3D. 0,85

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Gọi H là hình chiếu của M bên trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ bắt buộc H( 2 - 3t; 1 + 2t) và MH→( 1 - 3t; 2t - 1 )

Đường thẳng ∆có vectơ chỉ phương là u→(3; - 2) .

Hai vecto MH→ cùng u→ vuông góc với nhau cần : MH→ . U→ = 0

⇔ 3( 1 - 3t) – 2( 2t - 1) = 0 ⇔ 3 - 9t - 4t + 2 = 0

⇔ t = 5/13

⇒ Hoành độ của điểm H là 2 - 3t = 11/13

Câu 8: cho tam giác ABC bao gồm AB = 4; BC = 4√2 với góc B = 450.Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Tra cứu mệnh đề đúng?